【电子与信息科学 / Electronics and Information Science】

背景模型是一种检测运动物体的常用方法．通过将当前帧与背景相减，可以得到前景，以此进行物体分割、检测和追踪[1-5]．背景是包含静止物体的场景，如房子、树、墙壁及家具等．前景则是非静止的物体，包括运动的汽车、行走或跑动的人．由于背景随着物体的运动而动态变化，如原本静止的汽车离开了，或者是运动的人静止了，因此，需要自适应地更新背景模型．

当从一系列的帧之中提取背景时，由于这些帧的背景是一致的，可以认为背景是这些帧的主要成分，而前景为稀疏成分．因此，可以采用子空间的方法，如主成分分析(principal component analysis, PCA)[6]和非负矩阵分解(non-negative matrix factorization, NMF)[7]，对一系列帧提取其主要成分．这些主要成分就是所需要的背景，通过将一帧在这些成分张成的子空间上进行投影，再重构回来，就可以得到这帧的背景表达．于是，前景可以通过此帧与背景的相减得到．

然而当背景变化时，由于PCA和NMF只能处理静态的数据，因此它们需要将所有帧重新进行分解，这样会非常耗时．监控视频数量的不断增长迫切需要高效率的自适应背景建模算法[8-10]．Bucak等[11]提出增量子空间学习的方法，采用重构误差作为目标函数，在求解过程中利用之前得到的子空间信息，自适应地更新子空间，从而加快分解速度，有效对自适应背景建模．然而，Bucak的方法每次只能增量地学习1帧．若需要增量学习多帧，则算法需要执行多次，这样就降低了算法的效率．Cao 等[12]提出利用在线非负矩阵分解(online non-negative matrix factorization, ONMF)来检测和追踪潜在因子．因子是随着数据流而动态变化的，ONMF能较好追踪到变化的因子，成功运用到了主题检测．

本研究利用ONMF算法进行动态的背景建模，称此方法为增量非负矩阵分解(incremental non-negative matrix factorization, INMF)．与文献[11]的方法相比，INMF方法能同时处理多帧，因此具有更好的计算效率．实验结果表明，INMF不仅在计算时间上，而且在前景检测上，都要优于NMF．

1　非负矩阵分解

NMF的思想是将一个非负矩阵V近似分解为2个非负矩阵的乘积，即

Vm×n≈Wm×rHr×n

其中， Wm×r和Hr×n都是非负矩阵； r为基向量的个数，一般选择r满足(m+n)r<mn， 以减少数据存储空间．W的r列称为基图像，H的每一列称为系数．

V和WH之间的误差定义为[6]

NMF要解决如下最优化问题

s.t.W≥0,H≥0.

以上最优化问题可用如下迭代公式求解[13]

文献[13]证明了目标函数(1)在上述迭代算法下是非递增的．

2　增量非负矩阵分解

利用传统NMF对数据流进行处理是不现实的．假设在t时刻得到数据V, 并采用NMF算法得到如下分解：

V=WH

在t+1时刻，有新的数据U到达．因此，数据矩阵变为

显然，直接分解非常耗时．因此，需要利用已有的W和H来计算和， 此即为增量学习问题．本研究采用INMF算法对视频流进行增量学习，INMF算法源于文献[12]．为此，引入如下引理．

引理1[12]　若V=WH和V=W′H′是V的两个满秩分解，那么存在可逆矩阵P， 满足W=W′P和H=P-1H′．

考虑分解

因此， 1．由于V=WH， 根据引理1建立因子之间的联系为

其中， P为可逆矩阵．于是，分解问题(2)转变为

s.t.

P反映了旧因子W与新因子之间的联系．

为了求解问题(4)，考虑如下分解

可得

而意味着通过设置可得问题(4)的解．

由式(3)可得H, 于是问题(2)的解为

更新规则为

由于的大小比要小得多(W比V要小得多)，所以采用INMF比采用NMF要快得多．考虑NMF和INMF的计算复杂度，设V∈Rm×n, W∈Rm×r, U∈Rm×p, r<n, 则NMF的计算复杂度为O(mr(n+p))， INMF的计算复杂度为O(mr(r+p))． 由于r<n， 所以INMF比NMF更快．

3　背景模型实验

3.1　实验数据库及实验方法

在背景模型实验中，我们使用PET2001的 “dataset1_camera1” 的视频数据库[14]．这段视频时长2 min 2 s，共3 064帧，每帧大小为576×768．为提高计算效率，每帧采样都降到144×192，然后排成144×192=27 648维的列向量．

通过两部分实验比较INMF和NMF的运算时间和重构误差．具体实验设置分别在3.2和3.3小节介绍．所有实验均取r=2， 即只有2个背景基．新到的测试帧v投影到这两个背景基组成的子空间,再用基重构，得到v在子空间的表达为