马慧丽(1993—), 女, 河南三门峡人, 硕士研究生，研究方向：微分方程

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1 引 言

吸烟和接触烟草烟雾是全球公共卫生的一大威胁, 它引发了许多其他疾病并且造成了严重的发病率和死亡率, 如癌症、慢性肺病、心血管疾病和中风等.吸烟行为还具有可传播性和扩散性, 潜在吸烟者可能通过与吸烟者接触而吸烟.从某种意义上说吸烟行为与传染病有类似的传播机制.因此许多学者运用传染病传播原理建立戒烟动力学模型来预防和控制吸烟.如Carlos Castillo-Garsow(1997)等[1]利用传染病传播原理建立了一个 SIR 模型来研究戒烟问题, 并分析了所建模型的基本再生数及无烟平衡点和吸烟平衡点的稳定性.李志民等(2019)[2]建立了一类具有非线性发生率的戒烟模型, 并分析了其动力学行为.王霞等(2019)[3]研究了一类带有非线性接触率和戒烟不完全成功的戒烟模型, 并研究了该模型平衡点的全局动力学性质.考虑到媒体和政府对吸烟的干预作用, Sharma等(2015)[4]提出了一个非线性数学模型来研究媒体报道对戒烟的影响.Guerrero等(2011)[5]用一个流行病学模型来研究吸烟在西班牙人口(16-65 岁)中的流行演变规律, 发现在 2006 年西班牙无烟立法后在最初几年的实施中有非常积极的影响.

事实上, 大众媒体宣传可促进保护非吸烟者并劝阻人们使用烟草[6].由于众多经典的微分方程戒烟模型都是右端连续的, 但若考虑到媒体和政府的干预等因素, 建立右端不连续的戒烟模型或能更真实地刻画人们的吸烟行为.相比于用右端连续微分方程模型描述不连续的干预现象, 右端不连续的Filippov 系统不仅能够更准确地刻画这些不连续现象, 而且由于所建 Filippov 模型的不连续性, 使得系统具有更加丰富的动力学行为, 从而揭示出丰富且具有重要生物学意义的新结果.因此将Filippov系统运用到戒烟模型中，运用Filippov定性理论分析模型的动力学行为，从而可以得到政府和媒体干预对戒烟的影响.

2 模型的建立及预备知识

2.1 模型的建立

由于无烟情况是很难实现的,控制吸烟人数在一个合理的范围更加符合实际.在一些现有工作的基础上[1-5,7-17], 结合阈值策略, 提出式(1)所示的一个基于干预措施的 Filippov 戒烟模型来研究媒体和政府干预对吸烟传播的影响.

其中

这里所有的参数均为正值.其中P=P(t),S=S(t)分别代表了潜在吸烟者和吸烟者的数量,μ表示潜在吸烟者的出生率,β代表潜在吸烟者与吸烟者的接触影响率,d1,d2分别代表了潜在吸烟者和吸烟者的死亡率,q表示戒烟率,m表示政府和媒体对吸烟的干预强度.

模型采取如下的阈值策略:

当吸烟者的数量低于临界水平Sc时, 不采取干预措施, 此时由于基本的健康意识, 一般情况下人们会有戒烟意识和措施, 戒烟率为q；

当吸烟者的数量超过Sc时, 政府和媒体采取干预措施, 减少吸烟人数, 提高戒烟率, 戒烟率为q.

2.2 解的正性和有界性

考虑到系统(1)的现实意义, 这一节讨论系统(1)解的正性和有界性.

引理1[10,15]设(P(t),S(t))是系统(1)满足初值条件P(0)≥0,S(0)≥0且定义在区间[0,T)上的解, 其中T∈(0,+].那么对所有的t∈[0,T),有P(t)≥0,S(t)≥0.

引理2[10,16]对系统(1), 集合是一个正不变集而且是一个全局吸引集, 其中η=min{d1,d2}.

2.3 子系统动力学分析

这个部分主要分析子系统的动力学性质, 在区域G1和G2，系统(1)可以分成子系统(2)和子系统(3).

和

系统(2)的基本再生数为且有两个平衡点: 无烟平衡点E0和吸烟平衡点E1, 其中

引理3当R1<1 时,E0是子系统(2)的全局渐近稳定的无烟平衡点; 当R1>1时,E1是子系统(2)的全局渐近稳定的吸烟平衡点.

证明系统(2)的 Jacobian 矩阵为

由特征方程|J(E1)-λI|=0知, 特征根为

其中I是单位矩阵,当R1>1时, 子系统(2)的特征根λ都具有负实部且E1为焦点或者结点, 因此E1是局部渐近稳定的.此外取 Dulac 函数由Bendixson-Dulac 法则可知, 子系统(2)不存在闭轨.由此对子系统(2), 唯一的地方病平衡点E1是全局渐近稳定的.同样地, 当R1<1时,E0是子系统(2)的全局渐近稳定的无烟平衡点.

子系统(3)的基本再生数为且有两个平衡点：无烟平衡点E0和吸烟平衡点E2

类似地, 采用引理3的证明方法可以得到下面的结论.

引理4当R2<1时,E0是子系统(3)的全局渐近稳定的无烟平衡点; 当R2>1时,E2是子系统(3)的全局渐近稳定的吸烟平衡点.