叠加只是意味着所有的波相互作用，然后所有的波的总和（称为干涉）就是构成更复杂信号的叠加。

不确定性也可以解释为什么太阳会发光，甚至解释为什么霍金辐射的时空现象会缩小黑洞。不确定性是一种纯粹的数学现象，但由于量子系统实现了其中的一些数学理论，不确定性也是一种物理原理。

它指出：

海森堡的不确定性原理只是共轭变量这一更广泛和更深刻现象的一个特例。

傅里叶变换的缩放特性意味着，如果我们在时间上压缩信号，那么就相当于在频率上扩大信号（水平方向），反之亦然。

通过量纲分析，我们可以进一步理解。时间以秒为单位，单位是s，频率以秒的倒数为单位，单位是1/s。如果把时间延展，频率就会减少，反之亦然。

它的物理解释是什么？

由于动量是一个有方向的矢量，这意味着光子被允许在狭缝的另一侧移动的角度变得越来越大，在墙上形成了美丽的散射。

首先，我们需要了解一些关于这种变换的一般情况。傅里叶变换是一个积分变换（也就是一个算子），它接收一个函数并返回另一个函数。

如果你想知道频率的输出单位是从哪里来的，那么这很好理解。傅里叶变换中的s最终决定了构成信号的纯波的周期，你可以通过使用欧拉公式将复指数扩展为正弦和余弦，或者将傅里叶变换看作一组连续的傅里叶系数来感受一下。

在量子力学中，测不准原理（也被称为海森堡测不准原理）是一种数学不等式，对粒子的某些物理量的值（如位置和动量）可以从初始条件预测的准确性提出一个基本的限制。——-维基百科

在下文中，我们将始终假设积分是收敛的。

一个常见的表述方式是，在任何给定的时间点，你无法同时准确测量一个粒子的动量和位置。这种不确定性并不取决于测量设备或环境。不管我们做得多好，我们都不可能知道这两个量的确切值。

我上面提到的描述这种双重关系的工具，叫做傅里叶变换。毫无疑问，它是所有数学中最强大和最常用的工具之一。

为什么共轭变量的不确定性原理应该成立（从数学的角度来看）？原因是这样的：短信号，如突发的声音脉冲，需要许多波来保持振幅在某个间隔之外为零。相反地，当纯波贯穿整个空间时，信号越像正弦，描述信号所需的频率就越少。

所有这些原理背后的真正原因是某个数学事实，所有的波（共轭变量）都必须服从，包括物质（我们稍后会讨论这个问题）。雷达技术、能量和光也有必须遵守的 "不确定性原则"，正如我们很快会看到的，这一切本质上与物理学无关。

最终，这一切都归结为非常简单的事情。所有类型的信号或函数，无论多么复杂，实际上都是正弦波的叠加。这是一种波长和振幅都很明确的纯波。

很多人认为，海森堡测不准原理（不确定性原理）是关于观察者通过光子与电子相互作用，从而影响光子的动量的理论。

这种效果在音乐中是显而易见的，例如吉他声中带着泛音，与主波（被拨动的弦的频率）相互干扰。因此，吉他的声音（和任何其他乐器）是由不同频率和振幅的纯正弦波组成的。

读者可能已经知道一个更实用的特性是，傅里叶变换将导数转换为常数的乘积。这意味着一个空间的微分方程对应于另一个空间的代数方程。

量子物理学家描述一个量子系统（例如一个粒子）的方式是通过可能的量子状态。对此进行建模的函数家族被称为波函数。比方说，位置的波函数的大小的平方给出了与粒子有关的概率分布。

注意，所用的变量变化是u = at。让我们看看当a<0时的情况。

当我们对这个位置波（位置的波函数）进行傅里叶变换时，会得到一个空间频率波，而这个空间频率波就是粒子的动量的波函数。

下面是一个GIF，显示了一个声波（本例中是一个单位脉冲）是如何由许多纯正弦波组成的，从而产生了sinc函数，即sin(πs)/πs。

当我们描述这样一个复杂的信号时，我们可以选择两种相等的方式来表示它。我们可以选择用一个时间轴来描述所有产生干涉图样的波是如何同时相互作用的，或者我们可以选择用构成它的纯波的频率来描述它。这两种方式被称为双重关系。如果有一个数学工具来描述时间上的信号和频率上的信号之间的这种双重关系，那会非常有帮助。确实有这样的数学工具。